设函数f(x)=x^2+bln(x+1),b不为0

解(1):先求函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域,

由x+1＞0得x＞-1,即x∈(-1,+∞)

又 f'(x)=2x+b/(x+1)

=(2x2+2x+b)/(x+1)

=[(x+1/2)2+b-1/2]/(x+1)

∵ b＞1/2 , x∈(-1,+∞)

∴ f'(x)＞0

函数f(x)在定义域上单调递增.

(2):令f'(x)=(2x2+2x+b)/(x+1)

=0

即 2x2+2x+b=0

得 x=(-2±√22-4×2b)/2×2

= (-1±√1-2b)/2

可知当 b＞1/2时x无实数解,此时函数f(x)无极值点;

而当 b=1/2时

f'(x)=2x2+2x+1/2

=2(x+1/2)2≥0 符号无变化

可知函数f(x)在b=1/2时无极值点;

当 b＜1/2时

x1=(-1-√1-2b)/2 ?

x2=(-1+√1-2b)/2＞-1

须进一步讨论b的取值范围

A.b＜0时

x1=(-1-√1-2b)/2

＜(-1-1)/2

＜-1 不在定义域范围,故只有一个解x2.

当x∈(-1,x2)时

∵ x1＜-1

-x1＞1

x＞-1

x-x1＞0

x-x2＜0

x+1＞0